Ռիմանի ինտեգրալ

Ռիմանի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը

Ռիմանի ինտեգրալ, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը։ Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը։

Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրություն

Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը:

Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը։ Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես։

Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների։

Տրված պատկերի S մակերեսը տրված $\mathrm{\Delta }{x}_i$ երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.

$S=\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i:$

Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է S(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն $\mathrm{\Delta }{x}_i$ -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում։

Ինտեգրալային գումարի միջոցով

Թող, որ $[a,b]$ միջակայքում որոշված լինի $f$իրական ֆունկցիան։

Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝ $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b$, որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը։

Այս մասնատումը $[a,b]$ միջակայքը բաժանում է n հատ $[x_{i-1},x_i],i=1\dots n$ միջակայքերի։ Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝ $\delta R=\max (\mathrm{\Delta }{x}_i)$-ը կոչվում է բաժանման քայլ, որտեղ $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$-ը տարրական միջակայքի երկարությունն է։

Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝ ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$: Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը ${\sigma }_x=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$:

Եթե անկախ ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$-ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է $f$ ֆունկցիայի ինտեգրալ $[a,b]$ միջակայքում, այսինքն՝ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta R\to 0}{\sigma }_x$:

Այս դեպքում, $f$ ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) $[a,b]$ միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) $[a,b]$ միջակայքում։

Հատկություններ

1. Ոչ այլասերված լինելը. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}1dx=b-a$:
2. Դրական լինելը. եթե $f$ ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը $[a,b]$ միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է։
3. Գծայնություն. եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և $\alpha ,\beta \in ℝ$, ապա $\alpha f+\beta g$ ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$:
4. Անընդհատություն. եթե $f_i$ինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է $f$ ֆունկցիայի հետ $[a,b]$ միջակայքում, ապա $f$ -ը ինտեգրվող է, և $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_i(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$: (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
5. Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:). ընդունենք որ $a<b<c$: $f$ ֆունկցիան ինտեգրվող է $[a,c]$ միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է $[a,b]$ և $[b,c]$ միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$:
6. Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը)։ Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող։ Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան։ Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝ $[a,b]$ միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով)։
7. Եթե $F$ ֆունկցիան հանդիսանում է $f$ֆունկցիայի նախնականը, ապա $f$ֆունկցիայի ինտեգրալը $[a,b]$միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է $F(b)-F(a)$: (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին)։ Միջակայքում անընդհատ $f$ֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝ $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+C$, որտեղ $C$-ն ինտեգրման հաստատունն է։

Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը

Որպեսզի $f(x)$ ֆունկցիան լինի ինտեգրվող $[a,b]$միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի $\sum _{i=1}^n{\omega }_i{\mathrm{\Delta }}_i$ գումարը ձգտի զրոյի բաժանման $d$ երկարության հետ։ Այստեղ ${\omega }_i$-ն $f(x)$ ֆունկցիայի տատանումն է ${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$ հատվածում, $f$ ֆունկցիայի $\omega$ տատանումը $E$բազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝ $\underset{E}{\sup }f(x)-\underset{E}{\inf }f(x)$, բաժանման երկարությունը՝ $d=\underset{i}{\sup }(x_i-x_{i-1})$:

Պատմություն

Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը, բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար։

Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականինԿաղապար:Rp, իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ 1914 թվականին) տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու։

Տես նաև

• Ստիլտյեսի ինտեգրալ

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք

Արտաքին հղումներ

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана.