Վեկտորային ֆունկցիա

Կաղապար:ՎՏՔ Վեկտորային ֆունկցիա, ֆունկցիա, որի արժեքները վեկտորներ են երկու, երեք կամ ավելի չափանի $𝕍$ վեկտորական տարածության մեջ։ Ֆունկցիայի արգումենտները կարող են լինել՝

• մեկ սկալյար փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները $𝕍$-ում որոշում են որոշակի կոր,
• m սկալյար փոփոխականներ․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները $𝕍$-ում ձևավորում են, ընդհանուր առմամբ, m-չափանի մակերևույթ,
• վեկտորային փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիան սովորաբար դիտվում է որպես վեկտորային դաշտ $𝕍$-ում։

Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար հետագայում կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության դեպքով, թեև ընդհանուր դեպքի ընդլայնումը դժվար չէ: Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա $𝐫(t)$-ն ցույց է տալիս իրական թվերի որոշակի տիրույթ $t_1⩽t⩽t_2$ տարածական վեկտորների բազմության մեջ (ինտերվալը կարող է լինել նաև անսահման):

Ընտրելով կոորդինատների միավորի վեկտորները $\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}$, մենք կարող ենք վեկտորային ֆունկցիան բաժանել երեք կոորդինատային ֆունկցիաների x ( t ), y ( t ), z ( t ):

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣}+z(t)\widehat{𝐤}$

Որպես շառավիղ–վեկտորներ, վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները տարածության մեջ կազմում են որոշակի կոր, որի համար t-ն պարամետր է:

Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանը

Վեկտորային ֆունկցիա $𝐫(t)$ սահման ունի ${𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ երբ $t\to t_0$ (կամ երբ $t\to \mathrm{\infty }$ ), Եթե

$\underset{t\to t_0}{\lim }|𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}|=0(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }|𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}|=0)$

վեկտորային ֆունկցիայի սահման

(այսուհետ $|𝐯|$ նշանակում է $𝐯$ վեկտորի մոդուլ)։ Այս սահմանը կարող է վերաշարադրվել առանցԿաղապար:SfnԿաղապար:SfnԿաղապար:Sfnմոդուլի։

$\underset{t\to t_0}{\lim }𝐫(t)={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝐫(t)={𝐫}_{\mathrm{𝟎}})$

Այլ կերպ ասած, սա նշանակում է, որ երկրաչափական փոփոխական վեկտորը $𝐫(t)$ երբ $t\to t_0$ ձգտում է հաստատուն ${𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ վեկտորի երկարությամբ և ուղղությամբ Կաղապար:Sfn:

Ընտրենք ֆիքսված կետ $O$, որի մեջ տեղադրում ենք փոփոխական վեկտորի սկիզբը $𝐫(t)=\overrightarrow{OR}(t)$ (տես նկարը աջ կողմում): Այն դեպքում, երբ $t\to t_0$ շարժվող վերջը $R$ փոփոխական վեկտոր $\overrightarrow{OR}(t)$ ձգտում է ֆիքսված կետի $R_0$–ի, ֆիքսված վեկտոր $\overrightarrow{O{R}_0}={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ կա փոփոխական վեկտորի սահման $\overrightarrow{OR}(t)=𝐫(t)$։ Վեկտորային տարբերությունը՝ $𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ իրենից ներկայացնում է $\overrightarrow{R_{0}R}(t)$, իսկ վերջինիս մոդուլը անվերջ փոքր է Կաղապար:Sfn:

Այն դեպքում, երբ վեկտորային ֆունկցիայի մոդուլը $|𝐫(t)|$ անվերջ փոքր է, իսկ $𝐫$ վեկտորը կոչվում է անվերջ փոքրԿաղապար:SfnԿաղապար:Sfn։

Վեկտորային ֆունկցիայի անընդհատությունը որոշվում է այնպես, ինչպես սովորական սկալյար ֆունկցիայի անընդհատությունը (այսինքն՝ հետևյալ կերպ Կաղապար:Sfn

$𝐫(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }𝐫(t+\mathrm{\Delta }t)$)

այս դեպքում վեկտորի ֆունկցիայի անընդհատությունը կարող է հստակ արտահայտվել որպես նրա հոդոգրաֆի հոծ գիծԿաղապար:SfnԿաղապար:Sfn։ Վեկտորային ֆունկցիա $𝐫(t)$ անընդհատ (վեկտորային) ֆունկցիան է $t$ արգումենտից կախված այն և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորի կոորդինատները նույնպես անընդհատ (սկալյար) ֆունկցիաներ են $t$–ից կախված Կաղապար:Sfn .

Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանն ունի սովորական հատկություններ

• Վեկտորային ֆունկցիաների գումարի սահմանը հավասար է գումարելիների սահմանների գումարին (ենթադրելով, որ դրանք կան)։
• Վեկտորային ֆունկցիաների սկալյար արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների սկալյար արտադրյալին։
• Վեկտորային ֆունկցիաների վեկտորական արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների վեկտորային արտադրյալին։

Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ պարամետրի

Սահմանենք վեկտորային ֆունկցիայի $𝐫(t)$ ածանցյալը ըստ պարամետրի

$\frac{d}{dt}𝐫(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐫(t+h)-𝐫(t)}{h}$.

Եթե ածանցյալը $t$ կետում գոյություն ունի, ասվում է, որ վեկտորային ֆունկցիան այս կետում դիֆերենցելի է: Ածանցյալի համար կոորդինատային ֆունկցիաները կլինեն $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$։

Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալի հատկությունները (ենթադրվում է, որ ածանցյալներ գոյություն ունեն)։

• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}+\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — գումարի ածանցյալը ածանցյալների գումարն է
• $\frac{d}{dt}(f(t)𝐫(t))=\frac{df(t)}{dt}𝐫(t)+f(t)\frac{d𝐫(t)}{dt}$ — այստեղ f(t)-ն դիֆերենցելի սկալյար ֆունկցիա է:
• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — սկալյար արտադրյալի դիֆերենցումը
• $\frac{d}{dt}[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]=[\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]+[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}]$ — վեկտորային արտադրյալի դիֆերենցումը
• $\frac{d}{dt}(𝐚(t),𝐛(t),𝐜(t))=(\frac{d𝐚(t)}{dt},𝐛(t),𝐜(t))+(𝐚(t),\frac{d𝐛(t)}{dt},𝐜(t))+(𝐚(t),𝐛(t),\frac{d𝐜(t)}{dt})$ — խառը արտադրյալի դիֆերենցումը

Մի քանի սկալյար փոփոխականների վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար մենք կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության մեջ երկու փոփոխականի դեպքով: Վեկտորային ֆունկցիայի արժեքներ $𝐫(u,v)$ (դրանց հոդոգրաֆը ) ընդհանուր առմամբ ձևավորում է երկչափ մակերևույթ, որի վրա u, v արգումենտները կարող են դիտվել որպես մակերևույթի կետերի ներքին կոորդինատներ։

$𝐫=𝐫(u,v)$ հավասարումը կոորդինատներուվ ունի հետևյալ ձևը

$x=x(u,v);y=y(u,v);z=z(u,v)$

Կոորդինատային ցանց գնդի վրա

Մեկ փոփոխականի դեպքում մենք կարող ենք սահմանել վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալները, որոնցից այժմ կլինեն երկուսը՝ $\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$։ Մակերեւույթի մի հատվածը կլինի չվերասեռված (այսինքն, մեր դեպքում, երկչափ), եթե դրա վրա $[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ չի դառնում նույնաբար զրո։

Այս մակերևույթի վրա հարմար է կորեր սահմանել հետևյալ ձևով՝

$u=u(t);v=v(t)$,

որտեղ t-ն կորի պարամետրն է: $u(t),v(t)$ ենթադրվում է, որ դրանք դիֆերենցելի են, և դիտարկվող շրջանում դրանց ածանցյալները չպետք է միաժամանակ դառնան զրո: Հատուկ դեր են խաղում կոորդինատային գծերը, որոնք մակերևույթի վրա կազմում են կոորդինատային ցանց։

$u=t;v=const$ — առաջին կոորդինատային գիծն է

$u=const;v=t$ — երկրորդ կոորդինատային գիծն է

Եթե մակերույթի վրա հատուկ կետեր չկան ( $[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ ոչ մի տեղ չի դառնում զրո), ապա մակերևույթի յուրաքանչյուր կետով անցնում են ուղիղ երկու կոորդինատային գիծ:

Արտաքին աղբյուրներ

• Կաղապար:H
• Կաղապար:H
• Կաղապար:H
• Կաղապար:H