Էքսպոնենտ

$y=e^x$ էքսպոնենտի գրաֆիկը (կապույտով ). $e^x$ -ի շոշափողը կարմիրով։ Թեքությունը՝ $\frac{\pi }{4}(45^{\circ })$. Օրինակի համար դրված է նաև $y=2^x$ (կետերով) և $y=4^x$ (գծիկներով)

Էքսպոնենտ, $f(x)=\exp (x)=e^x$ ցուցչային ֆունկցիա, որտեղ $e$ -ն Էյլերի թիվն է $(e\approx 2,718)$.

Որոշում

Էքսպոնենտալ ֆունկցիան կարող է որոշվել տարբեր համարժեք ձևերով։ Օրինակ՝ Թեյլորի շարքի միջոցով․

$e^x=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

կամ սահմանի միջոցով․

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

Այստեղ $x$-ը ցանկացած կոմպլեքս թիվ է։

Հատկություններ

• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, մասնավորապես, էքսպոնենտը՝ $y^{\prime }=y$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումն է, $y(0)=1$ սկզբնական տվյալով։ Բացի այդ, էքսպոնենտի միջոցով արտահայտվում է համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները։
• Էքսպոնենտը որոշված է ամբողջ իրական թվերի առանցքով։ Այն ամենուր աճում է և միշտ մեծ է զրոյից։
• Էքսպոնենտը ուռուցիկ ֆունկցիա է։
• Նրան հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է $(\ln x)$։
• Ֆուրիեի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գույաություն չունի, եթե նրան ընդունենք որպես սովորական ֆունկցիա, իսկ եթե ընդունենք որպես ընդհանրացված, ապա այդպիսին կհամարվի Դիրակի դելտա-ֆունկցիան։
• Լապլասի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գոյություն ունի․
• Ածանցյալը զրոյում հավասար է մեկի,այդ պատճառով այդ կետում շոշափողը թեքված է $45^{\circ }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ աստիծանով։
• Ցանկացած ցուցչային ֆունկցիայի նման, նրա հիմնական հատկությունն է․

  $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$.

  • Այդպիսի հատկությամբ անընդհատ ֆունկցիան կամ նույնականորեն հավասար է 0, կամ ունի $\exp (cx)$ տեսքը, որտեղ $c$ հաստատուն է։։
• $e^x=\mathrm{sh}x+\mathrm{ch}x$, որտեղ $\mathrm{sh}$ և $\mathrm{ch}$ ՝ հիպերբոլական սինուս և կոսինուս են։

Կոմպլեքս էքսպոնենտ

Էքսպոնենտի գրաֆիկը կոմպլեքս հարթությունում․

Կոմպլեքս էքսպոնենտը մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որը տրվում է $f(z)=e^z$բանաձևով, որտեղ $z$-ը կոմպլեքս թիվ է։

$f(x)=e^x$ իրական $x$ փոփոխականով։

Որոշենք կապը՝

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$.

Այս ձևով որոշված արտահայտությունը իրական թվերի առանցքի վրա համընկնելու է իրական դասական էքսպոնենտի հետ։ Լիարժեքության համար պետք է ցույց տալ, որ $e^z$-ը բաժանվում է որոշակի, այդ ֆունկցիային ձգտող շարքի։

Ցույց տանք․

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Տվյալ շարքի համապատասխանելիությունը հեշտությամբ ապացուցվում է․

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \left|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|x{|}^n}{n!}=e^{|x|}$.

h-էքսպոնենտ

հ-էքսպոնենտի ներմուծումը հիմնված է երկրորդ հրաշալի սահմանի վրա։

$e_h(x)=(1+h{)}^{\frac{x}{h}}.$

$h\to 0$ դեպքում ստացվում է սովորական էքսպոնենտ.

Հակադարձ ֆունկցիա

Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է։ Նշանակվում է $\ln x$։

$\ln x={\log }_{e}x.$

Տես նաև

• Ցուցչային ֆունկցիա
• Էքսպոնենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Գրականություն

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Արտաքին հղումներ

• «Экспонента и число е: просто и понятно Կաղապար:Webarchive» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplainedԿաղապար:Ref-en