Կեպլերի եռանկյուն

ՆԿ․1․Կեպլերի եռանկյուն

Կեպլերի եռանկյուն, ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի կողմերի երկարությնները կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա և նրանց հարաբերակցությունները կապված են ոսկե հատման հետ․

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

որը կարող է գրվել հետևյալ տեսքով․ $1:\sqrt{\phi }:\phi$, կամ մոտավոր 1 ։ 1.272 : 1.618։ Այդ եռանկյան (Նկ․1․) կողմերի քառակուսիները կազմում են ոսկե հատմանը համապատասխան երկրաչափական պրոգրեսիա։

Այդ հարաբերակցությամբ կողմեր ունեցող եռանկյունները անվանվել են ի պատիվ գերմանացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Յոհան Կեպլերի (1571—1630 թվականներ), ով առաջին անգամ ցույց տվեց, որ այդպիսի եռանկյունների կարճ էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին հավասար է ոսկե հատմանը։

Այդպիսով Կեպլերի եռանկյունը իր մեջ միավորում է երկու հիմնական մաթեմատիկական հասկացություն՝ Պյութագորասի թեորեմը և ոսկե հատումը։ Այդ առիթով Կեպլերը նշել է․

Երկրաչափության մեջ գոյություն ունի երկու գանձ, մեկը Պյութագորասի թեորեմը, մյուսը ուղղի բաժանումը ոսկե համեմատականությամբ։ Առաջինը կարող ենք համեմատել ոսկու զանգվածի հետ, երկրորդը՝ թանկարժեք քարի։                                   Յոհան Կեպլեր

Որոշ աղբյուրներ պնդում են, որ հանրահայտ Գիզայի բուրգերը մոտարկված են Կեպլերի եռանկյանը։

Հետևություն

Այն փաստը, որ $1$, $\sqrt{\phi }$, և $\phi$կողմով եռանկյունը կազմում է ուղղանկյուն եռանկյուն, ուղղակի հետևում է $\phi$ ոսկե հատման քառակուսի եռանդամի արտահայտությունից․

${\phi }^2=\phi +1$

Պյութագորասի թեորեմի տեսքով գրելով․

$(\phi {)}^2=(\sqrt{\phi }{)}^2+(1{)}^2.$

Կապը միջին թվաբանականի, միջին երկրաչափականի և միջին հարմոնիկականի հետ

Դրական իրական а և b թվերի համար նրանց միջին թվաբանականը, միջին երկրաչափականը և միջին հարմոնիկականը հանդիսանում են ուղղանկյուն եռանկյան կողմեր, միայն ու միայն այն դեպքում, եթե եռանկյունը հանդիսանում է Կեպլերի եռանկյուն։

Կեպլերի եռանկյան կառուցում

Կեպլերի եռանկյան կառուցումը ոսկե հատման միջոցով։

Կեպլերի եռանկյունին կարելի է կառուցել քանոնի և կարկինի միջոցով, ոսկե հատման կառուցման միջոցով.

1․Կառուցեկ սովորական քառակուսի։

2․Տանել ուղիղ քառակուսու կողմերից մեկի կենտրոնից դեպի հանդիպակած գագաթ։

3․Ընդունեք այդ հատվածը որպես շրջանագծի շառավիղ, որը որոշում է ուղղանկյան բարձրությունը։

4․Լրացնել մինջև ոսկե հատում։

5․Օգտագործեք ոսկե հատման ուղղանկյան երկար կողմը, որպես աղեղի շառավիղ, որը հատելով ուղղանկյան հանդիպակած կողմը, որոշում է Կեպլերի եռանկայն ներքնաձիգը։

Մաթեմատիկական համընկնում

Վերցնենք կեպլերի եռանկյուն որի կողմերն են $a,a\sqrt{\phi },a\phi ,$ և դիտարկենք․

• շրջանագիծ, որը շրջապատում է նրան։
• քառակուսի, որի կողմը հավասար է եռանկյան միջին մեծության կողմին։

Երբ քառակուսու պարագիծը ($4a\sqrt{\phi }$) և շրջանագծի երկարությունը ($a\pi \phi$) համընկնում են 0,1 % ճշտությամբ։

Դա մաթեմատիկական համընկնում է $\pi \approx 4/\sqrt{\phi }$։ Այդ քառակուսին ու շրջանագիծը չեն կարող ունենալ նույն պարագիծը։ Հակառակ դեպքում կլուծվեր դասական շրջանի քառակուսիացման անլուծելի խնդիրը։ Այլ խոսքերով $\pi \ne 4/\sqrt{\phi }$, քանի որ $\pi$-ն տրանսցենդենտ թիվ է։

Տես նաև

• Ոսկե հատում
• Պյութագորասի թեորեմ

Գրականությունություն

• Белонучкин В. Е. Кеплер, Ньютон и всё-всё-всё. М.: Наука, Серия Библиотечка «Квант», выпуск 78, 1990. 128 с.
• Белый Ю. А. Иоганн Кеплер. — М.: Наука, 1971. — 295 с. — 17 000 экз.
• Белый Ю. А. Вклад Кеплера в развитие математики и его астрономические исследования // Историко-астрономические исследования. Вып. XI. 1972. С.65-106.