Կոտանգենսների թեորեմ

Կոտանգենսների թեորեմը, եռանկյունաչափական թեորեմ է, որը կապ է հաստատում եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավղի և եռանկյան կողմերի երկարությունների միջև։

Բանաձև

Վերոնշյալ փաստարկներով, բոլոր վեց հատվածները ցույց են տրված:

եռանկյան ընդհանուր տեսքը

Դիցուք

$a,b,c$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են,

$A,B,C$-ը՝ համապատասխանաբար $a,b,c$ կողմերի դիմացի անկյունները,

$r$-ը՝ եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ

$p=\frac{a+b+c}{2}$-ը՝ եռանկյան կիսապարագիծը։

Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\frac{p-a}{r}$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}=\frac{p-b}{r}$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\frac{p-c}{r}$,

կամ դրանց համարժեք՝

$\frac{p-a}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(A/2)}=\frac{p-b}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(B/2)}=\frac{p-c}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(C/2)}=r$:

Թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. կիսանկյան կոտանգենսը հավասար է կիսապարագծի և տրված անկյան դիմացի կողմի տարբերության հարաբերությանը ներգծված շրջանագծի շառավղին։

Հետևություն

Կոտանգենսներից թեորեմից ներգծված շրջանագծի շառավղի համար ստացվում է

$r=\sqrt{\frac{1}{p}(p-a)(p-b)(p-c)}$։

Մյուս կողմից, քանի որ եռանկյան մակերեսը՝ $S=pr$, ապա կարելի է ստանալ Հերոնի բանաձևը՝

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

Տես նաև

• Սինուսների թեորեմ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոնի բանաձև
• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ