Հիլբերտյան տարածություն

Տատանվող լարը կարող է դիտարկվել որպես Հիլբերտյան տարածության կետ։

Հիլբերտյան տարածություն, արդի մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություններից մեկը։ Ձևավորվել է 20-րդ դարի սկզբին, գերմանացի մաթեմատիկոս Դավիթ Հիլբերտի աշխատություններում արտահայտված գաղափարների ազդեցությամբ։ Հիլբերտյան տարածություն սահմանման մեջ հանդես եկող հիմնական հասկացությունը ներքին կամ սկալյար արտադրյալն է։ Այդպես կոչվում է այն արտապատկերումը, որը կոմպլեքս (կամ իրական) $H$ գծային տարածության տարրերի (վեկտորների) յուրաքանչյուր $x,y$ զույգին համապատասխանեցնում է կոմպլեքս (իրական) $(x,y)$ թիվ և $H$-ի կամայական $x,y,z$ տարրերի և $\lambda$ կոմպլեքս (իրական) թվի համար բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

1. $(x,x)⩾0$, ընդ որում $(x,x)=0$ միայն $x=0$ դեպքում,
2. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$,
3. $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$,
4. եթե $(y,x)=\alpha +i\beta$, ապա $(y,x)=\alpha -i\beta$, այսինքն՝ $(x,y)=\overrightarrow{(}y,x)$:

$p(x,y)=\sqrt{(x-y,x-y)}$ և $\Vert x\Vert =\sqrt{(x,x)}$ մեծությունները համապատասխանաբար որոշում են $x$ և $y$ վեկտորների միջև հեռավորությունը և $x$ վեկտորի երկարությունը (նորմը), որոնց միջոցով $H$-ում ներմուծվում է մետրիկական ու նորմավորված տարածությունների կառուցվածք։ Ներքին արտադրյալով օժտված գծային տարածությունը, որը լրիվ է որպես մետրիկական տարածություն, կոչվում է հիլբերտյան տարածություն։ Հիլբերտյան տարածությունը էվկլիդեսյան տարածության հասկացության լայն ընդհանրացումն է։ Հիլբերտյան տարածության կարևոր օրինակ է $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,....),(|{\alpha }_1{|}^2+|{\alpha }_2{|}^2+....<\mathrm{\infty })$ հաջորդականությունների $l^2$ գծային տարածությունը՝ $(\alpha ,\beta )={\alpha }_1{\overline{\beta }}_1+{\alpha }_2{\overline{\beta }}_2+....$ ներքին արտադրյալով։

Սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունը պարունակում է օրթոնորմավորված բազիս, այսինքն՝ տարրերի այնպիսի $e_n$ համակարգ $(||e_n||=1,(e_n,e_m)=0,m\ne n)$, որի կամայական $x$ տարր ունի միարժեք ներկայացում՝ $x=\sum _n{C}_n{e}_n$, որտեղ $C_n$-երը թվեր են, իսկ շարքը զուգամիտում է $H$-ի նորմով։ Վերը նշված $l_2$ տարածությունը սեպարաբել է, որում օրթոնորմալ բազիս է, օրինակ, $e_1=(1,0,0,....),e_2=(0,1,0,....),....$ վեկտորների համակարգը։ Հիլբերտյան տարածությունների իզոմորֆիզմ ասելով հասկանում են գծային կառուցվածքը և ներքին արտադրյալը պահպանող փոխմիարժեք համապատասխանությունը։ Բոլոր սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունները իզոմորֆ են։ Հիլբերտյան տարածության կիրառությունների ոլորտը ապահովվում է, առաջին հերթին, հիլբերտյան տարածությունում գծային օպերատորների խոր և բովանդակալից տեսությամբ, որը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ բնագավառներում՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունում, ֆունկցիոնալ անալիզում, քվանտային մեխանիկայում ևս։

Տես նաև

• Մետրիկական տարածություն