Երկուական լոգարիթմ

Երկուական լոգարիթմի գրաֆիկը

Երկուական լոգարիթմ-դա լոգարիթմն է 2 հիմքով։ Այլ կերպ ասած․ $b$ թվի երկուական լոգարիթմը $2^x=b$ հավասարման լուծումն է։ $b$ իրական թվի երկուական լոգարիթմը գոյություն ունի, եթե $b>0$։Համաձայն ISO 31-11 ստանդարտի, այն նշանակյվում է $\mathrm{lb}b,$ $\mathrm{lb}(b)$ կամ ${\log }_{2}b$։ Օրինակներ․

$\mathrm{lb}1=0;\mathrm{lb}2=1;\mathrm{lb}16=4$

$\mathrm{lb}0,5=-1;\mathrm{lb}\frac{1}{256}=-8$։

Պատմություն

Երկուական լոգարիթմը իր առաջին կիրառությունը գտել է երաժշտության տեսության մեջ, երբ Լեոնարդ Էյլերը սահմանեց, որ երկու երաժշտական տոների հաճախությունների հարաբերության երկուական լոգարիթմը հավասար է այն օկտավաների քանակին, որոնք բաժանում են մի տոնը մյուսից։ Էյլերը հրապարակեց նաև 1-ից մինչև 8 ամբողջ թվերի երկուական լոգարիթմների աղյուսակը՝ յոթ տասնորդական ճշտությամբ։ Ինֆորմատիկայում էլ պարզ դարձավ, որ ինֆորմացիայի կոդավորման գործընթացում բիթերի քանակը հաշվելիս նույնպես կա երկուական լոգարիթմի անհրաժեշտությունը։ Այն կիրառվում է նաև կոմբինատորիկայում, բիոինֆորմատիկայում, կրիպտոգրաֆիայում և լուսանկարչությունում։ Երկուական լոգարիթմը կիրառվում է նաև ծրագրավորման համակարգերում։

Հանրահաշվական հատկությունները

Աղյուսակում ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները դրական ենԿաղապար:Sfn։

	Բանաձևը	Օրինակ
Արտադրյալ	$\mathrm{lb}(xy)=\mathrm{lb}(x)+\mathrm{lb}(y)$	$\mathrm{lb}(256)=\mathrm{lb}(16\cdot 16)=\mathrm{lb}(16)+\mathrm{lb}(16)=4+4=8$
Քանորդ	$\mathrm{lb}\left(\frac{x}{y}\right)=\mathrm{lb}(x)-\mathrm{lb}(y)$	$\mathrm{lb}\left(\frac{1}{32}\right)=\mathrm{lb}(1)-\mathrm{lb}(32)=0-5=-5$
Աստիճան	$\mathrm{lb}(x^p)=p\mathrm{lb}(x)$	$\mathrm{lb}(1024)=\mathrm{lb}(2^{10})=10\mathrm{lb}(2)=10$
Արմատ	$\mathrm{lb}\sqrt[p]{x}=\frac{\mathrm{lb}(x)}{p}$	$\mathrm{lb}\sqrt{8}=\frac{1}{2}\mathrm{lb}8=\frac{3}{2}=1,5$

Կան նաև բանաձևերի ընդհանրացումները այն դեպքերի համար, երբ փոփոխականները բացասական են․

$\mathrm{lb}|xy|=\mathrm{lb}(|x|)+\mathrm{lb}(|y|),$

$\mathrm{lb}\left|\frac{x}{y}\right|=\mathrm{lb}(|x|)-\mathrm{lb}(|y|)$։

Բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել նաև ցանկացած քանակի արտադրիչների համար․

$\mathrm{lb}(x_1{x}_2\dots x_n)=\mathrm{lb}(x_1)+\mathrm{lb}(x_2)+\dots +\mathrm{lb}(x_n)$։

Կապը տասնորդական և բնական լոգարիթմների միջև․

$\mathrm{lb}x\approx 1,442695\ln x$

$\mathrm{lb}x\approx 3,321928\lg x$։

Երկուական լոգարիթմական ֆունկցիա

Եթե լոգարիթմվող թիվը դիտարկենք որպես փոփոխակն, ապա կստանանք $y=\mathrm{lb}x$ լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշվածէ բոլոր $x>0$ համար, արժեքների տիրույթն է՝ $E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$։ Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը հաճախ անվանում են լոգարիթմական, որը $y=2^x$ ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է։ Ֆունկցիան մոնոտոն աճող է, անընդհատ և դիֆերենցելի է ամենուրեք, որտեղ նա որոշված է։Ածանցյալի բանաձևն է․

$\frac{d}{dx}\mathrm{lb}x=\frac{\mathrm{lb}e}{x}$

Աբցիսների առանցքը՝ $(x=0)$ հանդիսանում է հորիզոնական ասիմպտոտ, քանի որ․

$\underset{x\to 0+0}{\lim }\mathrm{lb}x=-\mathrm{\infty }$։

Կիրառությունը

Ինֆորմացիայի տեսություն

$N$ բնական թվի երկուական լոգարիթմը հնարավորություն է տալիս հաշվելու $b(N)$ թվի թվանշանների քանակը այդ թվի համակարգչային ներկայացման մեջ․

$b(N)=\lfloor \mathrm{lb}N\rfloor +1$ (փակագիծը նշանակում է թվի ամբողջ մասը)։

Կոմբինատորիկա

Եթե երկուական ծառը պարունակում է $n$ հանգույց, ապա նրա բարձրությունը փոքր չէ ${\log }_{2}n$ (հավասարություն կստացվի այն դեպքում, երբ $n$-ը հանդիսանում է 2-ի աստիճան)։

Այլ կիրառություններ

Օլիմպիական խաղերի օղակների թիվը հավասար է մրցումների մասնակիցների թվի երկուական լոգարիթմին։

Երաժշտության մեջ, որպեսզի որոշվի, թե քանի մասի է բաժանվում օկտավան, անհրաժեշտ է որոշել ${\log }_2\frac{3}{2}\approx 0,585$ թվի ռացիոնալ մոտարկումը։ Եթե այն վերածվի սովորական կոտորակի՝ (7/12) ապա կհիմնավորվի օկտավան 12 կիսատոների դասական բաժանումը։

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга

Արտաքին հղումներ

• Binary Logarithm - from Wolfram MathWorld