Նյոթերի թեորեմ

Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.

• Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
• Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
• Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
• Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին։

Ձևակերպում

Դասական մեխանիկա

$g^s(q_i)$ դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

$I=\sum _{i=1}^n(\frac{d}{ds}{g}^s(q_i))\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t)$

տեսքն ունի, իսկ $L(q,\dot{q},t)$ Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն

$\frac{d}{ds}L({\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t),\dot{{\overrightarrow{q}}_0}+s\dot{\overrightarrow{\psi }}(\overrightarrow{q},t),t)=0$, եթե $s=0$։

Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

$I=(\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t);\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}})=\sum _{i=1}^n{\psi }_i(\overrightarrow{q},t)\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ $\tau$ պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում $t=\tau$։ Այդ դեպքում

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t)$

$g^s(t)=t_0+s\xi (\overrightarrow{q},t)$

ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝

$I=\xi L+(\overrightarrow{\psi }-\xi \dot{\overrightarrow{q}};\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}})$։

Դաշտի տեսություն

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։ Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է $n$ պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են $k$ կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա

$S=\int L(A^i,{\partial }_{\mu }{A}^i,x^{\mu })d\mathrm{\Omega },i=1,\dots ,n,\mu =1,\dots ,k,d\mathrm{\Omega }=d{x}^1\dots d{x}^k$

տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների $g^s$ խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է

$J^{\mu }=\left(\frac{d}{ds}{g}^s{A}^i\right)\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{A}^i)},$

վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$։ Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ

${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0,$

այդ պատճառով $J$ հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա $J$ հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիցուք ունենք $S=\int L(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )d𝒙$ գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ $L$-ը լագրանժյանն է. $x$-ն՝ անկախ փոփոխականներ, $u$-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ $x$-ից։ $L$ կարող է կախված լինել նաև $u$-ի ածանցյալներից ըստ $x$-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}(L)=0,\alpha =1\dots q$

տեսքով, որտեղ $\mathrm{E}$-երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial u_{\alpha }}-\sum _{i=1}^p\frac{d}{d{x}_i}\frac{\partial }{\partial u_{x_i}^{\alpha }}+\dots$,

$u_{x_i}^{\alpha }$-ն $u^{\alpha }$ ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ $x_i$ փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե $L$-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա $\mathrm{E}$-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ ${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\sum _J(-D{)}_J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }}$,

որտեղ $J$ — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ $u_J^{\alpha }$ ածանցյալը մտնում է $L$-ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է $S$ ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

Պահպանման օրենքներ

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}$-ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ $x$-ի։ $\overrightarrow{P}$-ն $u$-ի, $x$-ի և ըստ $x$-ի $u$-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

• որոնց համար $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
• որոնց համար $\overrightarrow{P}$-ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
• որոնց համար $\overrightarrow{P}$-ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե $\overrightarrow{P}$ և $\overrightarrow{R}$ ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար $\overrightarrow{P}-\overrightarrow{R}$ տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{Q}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Delta }}$,

որտեղ $\mathrm{\Delta }$-ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}=0$։ Նկարագրվող դեպքի համար ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ և

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }{E}_{\alpha }(L)$։

$Q_{\alpha }$ կախված են $u$-ից, $x$-ից և ըստ $x$-ի $u$-ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։

Վարիացիոն սիմետրիաներ

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

$\overrightarrow{v}=\sum _{i=1}^p{\xi }^i\frac{\partial }{\partial x^i}+\sum _{\alpha =1}^q{\phi }_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}$։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ $\xi$ և $\phi$-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն $u$-ից և $x$-ից, այլև $u$-ի ածանցյալներից ըստ $x$-ի։

Սահմանում. $\overrightarrow{v}$-ն կոչվում է $S$ ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի $\overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )$ համախումբ այնպես, որ

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}(L)+L\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\xi }=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\mathrm{B}}$։

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}$-ն $\overrightarrow{v}$-ի շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ $\overrightarrow{v}$-ի գործողությունը $u$-ի և $x$-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\sum _{\alpha ,J}{\phi }_{\alpha }^J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }},{\phi }_{\alpha }^J=D_J({\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha })$

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի $\overrightarrow{v}$-ից վերցնել այնպիսի $\partial /\partial u_J^{\alpha }$-ով բաղադրիչներ, որոնց համար $u_J^{\alpha }$-ն մտնում է $L$-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ $\overrightarrow{v}$-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են $S$ ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե $\overrightarrow{v}$-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա $\overrightarrow{v}$-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L){|}_{{\mathrm{E}}_{\alpha }(L)=0}=0$։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ ${\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$ արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են $\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$ տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր

$Q_{\alpha }={\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha }$ ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է $\overrightarrow{v}$ վեկտորական դաշտի բնութագիր։ $\overrightarrow{v}$-ի փոխարեն կարելի է վերցնել

${\overrightarrow{v}}_Q=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}$

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է $\overrightarrow{v}$-ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։

$\overrightarrow{v}$-ն և ${\overrightarrow{v}}_Q$-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են $Q_{\alpha }$-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ ${\overrightarrow{v}}_Q$-ի շարունակությունը որոշվում է $\overrightarrow{v}$-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու $\xi$- երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

Նյոթերի թեորեմ

$\overrightarrow{v}$ ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է $S$ ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա $\overrightarrow{Q}$ բնութագիրը $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$ պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներ

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

Կիրառություններ

Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

• Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով $p_x$ իմպուլսը պահպանվում է։
• Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
• Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար։

Գրականություն

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

Արտաքին հղումներ

• Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
• Ջոն Բաեսի հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին Կաղապար:Ref-en
• Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
• Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում Կաղապար:Ref-en
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. Կաղապար:Ref-en
• Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.