Կոր

Կոր տոպոլոգիական տարածությունում

Կոր տոպոլոգիական տարածությունում, $R^1$ թվային ուղղի ցանկացած $[a,b],(a<b)$, հատվածի անընդհատ արտապատկերում կամայական տոպոլոգիական տարածության մեջ։ Եթե $t\in [a,b]$ թվի իմաստը ժամանակն է, իսկ $x=f(t)$ համապատասխան կետը՝ շարժվող կետի դիրքն է պահին, ապա երբ $t$-ն $a$-ից $b$ ուղղությամբ անընդհատ անցնում է $[a,b]$ հատվածը, $f(t)$ կետը անցնում է որոշ «անընդհատ կոր»՝ $f$ կորի «հետագիծը»։ Ընդ որում, թույլատրվում Է, որ շարժվող կետը ժամանակի տարբեր պահերին տարածության միևնույն կետով անցնի մի քանի անգամ կամ որոշ ժամանակահատվածում մնա «անշարժ»։ Դեռ ավելին, չեն բացառվում նաև $f:[a,b]\to X$ հաստատուն կորեր, որոնց համար $f$ արտապատկերումը հաստատուն է, այսինքն յուրաքանչյուր $t$-ի համար $f(t)=x_0$, որտեղ $x_0$-ն $X$ տարածության որևէ սևեռված կետ է։ Կորի $f(t)$ կետերի անցման կարգը էական է, և այդ պատճառով յուրաքանչյուր $f$ կորը ստանում է որոշ ուղղություն՝ $f(a)$ սկզբնակետից դեպի $f(b)$ վերջնակետը։ Նկարում այդ ուղղությունը նշվում է սլաքով։ $f:[a,b]\to X$ կորը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրակետերը համընկնում են $[f(a)=f(b)]$, և փակ պարզ կորը, եթե նաև $[f(t_1)\ne f(t_2)]$ յուրաքանչյուր $t_1,t_2$-ի համար, որտեղ $a<t1<t2<b$։ $R^n$ էվկլիդեսյան տարածության $f^{\prime }$ կորը կոչվում է անընդհատ դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունի անընդհատ $f^1$ ածանցյալ։ Անհրաժեշտ է ընդգծել, որ $f:[a,b]\to X$ կորը դա $f$ արտապատկերումն է, և ոչ թե նրա $x=f(t)$ կետերի բազմությունը։ $X$ տարածության միևնույն ենթաբազմությունը կարող է դիտվել որպես կետերի բազմություն այդ տարածության տարբեր կորերի համար։ Օրինակ, դիցուք $C$-ն $R^2$ հարթության որևէ շրջանագիծ է, $O$-ն նրա կենտրոնը, իսկ $l\subset R^2$‘ $O$ գագաթով սևեռված ճառագայթ։ Այդ շրջանագծի վրա ընտրենք շրջանցման դրական ուղղություն և կառուցենք $f:[0,l]\to R^2$ փակ կոր հետևյալ կերպ՝ $f(o)$-ն $l$ ճառագայթի և $C$ շրջանագծի հատման կետն է, իսկ $f(t)$-ն, $0⩽t⩽1$, $C$ շրջանագծի այնպիսի կետ է, որի համար $l$ ճառագայթի և $O$ կետը $f(t)$ կետի հետ միացնող հատվածի միջև կազմված անկյունը հավասար է $2\pi t$ (տես նկարը)։ Պարզ է, որ փոխելով $l$ ճառագայթի դիրքը՝ կստանանք անթիվ բազմությամբ տարբեր կետեր, որոնց համար կետերի բազմությունը $C$ շրջանագիծն է։ $X$ տարածության բոլոր կորերի բազմությունում մտցվում է համարժեքության հարաբերություն հետևյալ կերպ՝ $f:[a,b]\to X$ և $g:[c,d]\to X$ կետերը կոչվում են համարժեք, եթե տեղի ունի $f=goh$ առնչությունը, որտեղ $h:[a,b]\to [c,d]$-ն $[a,b]$ հատվածի այնպիսի տոպոլոգիական արտապատկերում է $[c,d]$ հատվածի վրա, որի համար $h(a)=c$, իսկ $h(b)=d$։ Եթե $f:[a,b]\to X$ որևէ կոր է, ապա կարելի է կառուցել այնպիսի $g:[0,l]\to X$ կոր, որը լինի համարժեք $f$ կորին։ Օրինակ, $g=foh$, որտեղ $h:[0,l]\to [a,b]$ տոպոլոգիական արտապատկերումը տրվում է $h(t)=(b-a)t+a$ բանաձևով։ Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս դիտարկել միայն այնպիսի կորեր, որոնց որոշման տիրույթը $[0,l]$ հատվածն է։

Վերը նշված համարժեքության հարաբերության հետևանքով $X$ տարածության բոլոր կորերի բազմությունը տրոհվում է իրար համարժեք կորերի դասերի։ Լրիվ խստությամբ $X$ տարածության կորը կոչվում է յուրաքանչյուր այդպիսի համարժեքության դաս։ Կորի նշված գաղափարի հետ սերտորեն կապված է գծի բավականաչափ ընդհանուր գաղափարը։ Ժամանակակից տոպոլոգիան առաջադրեց գծի մասին պատկերացման ճշգրտության խնդիրը, որը լուծեց խորհրդային մաթեմատիկոս Պ. Ուրիսոնը (1921)։ Ըստ նրա սահմանման, գիծ է կոչվում յուրաքանչյուր միաչափ կոնտինուում, այսինքն միաչափ, կապակցված, բիկոմպակտ, հաուսդորֆյան տարածություն։ Հարթ գծի սահմանումը (որը համապատասխանում Է Ուրիսոնի սահմանման հետ) տվել է դեռևս Գ. Կանտորը, հարթ գծերը հաճախ անվանում են կանտորյան գծեր։ Որպեսզի $X\subset R^2$ կոնտինուումը լինի կանտորյան գիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ $X$-ը $R^2$ հարթության նկատմամբ չունենա ոչ մի ներքին կետ։