Վերջավոր դաշտ

Վերջավոր դաշտ, կամ ընդհանուր հանրահաշվում Գալուայի դաշտ, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի կարգ։

Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է ${𝔽}_q$ կամ $\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$ (հապավումը՝ Galois field-ից) և կոչվում է $q$ կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ $q$-ն՝ դաշտի տարրերի թիվն էԿաղապար:Sfn։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ $q=p^n$, որտեղ $p$-ն պարզ թիվ է, $n$-ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Ընդ որում $p$ լինելու է այդ դաշտի բնութագիրըԿաղապար:Sfn։

Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսությանԿաղապար:Sfn, խմբերի տեսության Կաղապար:Sfn, հանրահաշվական երկրաչափությանԿաղապար:Sfn և ծածկագիտություն մեջԿաղապար:Sfn։

Սահմանում և հատկություններ

Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի։

Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է։ Այսինքն, ${𝔽}_q$ դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ և նշանակում է ${𝔽}_q^{*}$)։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով։ Այսինքն, գոյություն ունի $g$ գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած $a\in {𝔽}_q^{*}$ -ի համար կարելի է գրել.

$\mathrm{\exists }n:g^n=amodq$։

Գեներացնող տարրը՝ ${𝔽}_q^{*}$, կոչվում է նաև ${𝔽}_q.$ դաշտի պարզունակ տարր։ ${𝔽}_q$ դաշտը պարունակում է $\phi (q-1)$ պարզունակ տարրեր, որտեղ $\phi$՝ Էյլերի ֆունկցիան էԿաղապար:Sfn։

Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

• Ըստ Ֆերմայի թեորեմի, ${𝔽}_q$ դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է $a^q=a$ հավասարմանըԿաղապար:Sfn։
• ${𝔽}_{p^n}$ դաշտն իր մեջ պարունակում է ${𝔽}_{p^k}$ ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ $k$ հանդիսանում է $n$-ի բաժանարարԿաղապար:Sfn։
• Եթե $f\in {𝔽}_q[x]$ -ը $m$ աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա ${𝔽}_{q^m}$ դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած $\alpha$ արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի ${𝔽}_{q^m}$ տեսքը։ Այսպիսով, ${𝔽}_{q^m}$ դաշտը հանդիսանում է $f$ բազմանդամի վերլուծման դաշտը ${𝔽}_q$ դաշտի վարԿաղապար:Sfn։
• Յուրաքանչյուր ${𝔽}_q$ վերջավոր դաշտի և $n$ բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված, ${𝔽}_q$ բազմանդամների արտադրյալը հավասար է $x^{q^n}-x:$ Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է $q^n$Կաղապար:Sfn։
• ${𝔽}_q,$ դաշտի վրա բերվող n աստիճանի նորմավորված բազմանդամների ${𝔽}_q,$ թիվը որոշվում է $N(q,n)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac{n}{d}}$ բանաձևով, որտեղ $\mu$ Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս պնդումը հետևում է $q^n=\sum _{d|n}dN(q,d)$ բանաձևիցԿաղապար:Sfn։

Պարզ թվով տարրերով դաշտ

Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն, ${𝔾𝔽}_p$ տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման $\mathbb{Z}/(p)$ օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ $p$ պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է $\mathbb{Z}/(p)$-ովԿաղապար:Sfn։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. $p$ պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն $\{0,1,...,p-1\}$ թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում $p$ մոդուլի միջոցով։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։

Նվազեցվող օղակների հետ կապը

Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը ${𝔽}_{p^n}$ և նվազեցումների օղակները $\mathbb{Z}/(p^n)$։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող Կաղապար:Sfn։

Երբ n > 1 նվազեցված օղակը $\mathbb{Z}/(p^n)$ դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

${𝔽}_8$ ցանկացած տարրի համար ճիշտ է $x+x=0$։

Օղակը ${\mathbb{Z}}_8$, Հաշվելով $x+x$ մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ $x=4,x=0$։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։

Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչ

Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝ $F$-ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է $p^n$ տարրերից, որտեղ $F$ դաշտի բնութագրիչը $p$ է, իսկ $n$ բնական թիվը՝ $F$ դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրաԿաղապար:Sfn.

Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր $p$ պարզ և $n$ բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝ $p^n$ տարրերով և $q=p^n$ տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման $x^q-x$ դաշտի նկատմամբ՝ ${𝔽}_p$ դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված $q$ կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝ $q$ տարրից)Կաղապար:Sfn։

Կառուցում

${𝔽}_{p^n}$ դաշտը n > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես $𝕂={𝔽}_p[x]/(f(x))$ ֆակտոր օղակ, որտեղ $f(x)$ -ը ${𝔽}_p$ դաշտի նկատմամբ nաստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով, $p^n$ տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել $n$ աստիճանի, ${𝔽}_p$ դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։ $𝕂$ դաշտի տարրերը հանդիսանում են $n$-ից փոքր աստիճաններով, ${𝔽}_p$ -ից գործակիցներով, $f(x)$ բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս։

$f(x)$ տարրը համարվում է $\alpha =x+(f(x))\in {𝔽}_p[x]/(f(x))$ բազմանդամի արմատը և ${𝔽}_p[x]/(f(x))$ դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝ ${𝔽}_p$ դաշտում, հետևաբար անցումը ${𝔽}_p$ դաշտից ${𝔽}_p[x]/(f(x))$ դաշտ անվանում են $f(x)$ չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը ${𝔽}_p$ դաշտինԿաղապար:SfnԿաղապար:Sfn։

Օրինակներ

Երկու տարրերից կազմված դաշտ

${𝔽}_2$ դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց։

• Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

× 0 1 0 0 0 1 0 1

• Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».

+ F T F F T T T F

× F T F F F T F T

Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։

Երեք տարրերից կազմված դաշտ

Դաշտը ${𝔽}_3=\{0,1,2\}$ -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։ ${𝔽}_3$ գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

× 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

Չորս տարրերից կազմված դաշտ

${𝔽}_4$ դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ բազմություն (որտեղ $\alpha$ -ը $f(x)=x^2+x+1$ բազմանդամի արմատն է ${𝔽}_2$ դաշտի վրա, այսինքն՝ ${\alpha }^2=-\alpha -1=\alpha +1$): ${𝔽}_4$ գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը.

+ 0 1 $\alpha$ $\alpha +1$ 0 0 1 $\alpha$ $\alpha +1$ 1 1 0 $\alpha +1$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha +1$ 0 1 $\alpha +1$ $\alpha +1$ $\alpha$ 1 0

× 0 1 $\alpha$ $\alpha +1$ 0 0 0 0 0 1 0 1 $\alpha$ $\alpha +1$ $\alpha$ 0 $\alpha$ $\alpha +1$ 1 $\alpha +1$ 0 $\alpha +1$ 1 $\alpha$

Ինը տարրերից կազմված դաշտ

${𝔽}_9=\mathrm{G}\mathrm{F}(3^2)$ դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի, ${𝔽}_3$ -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ։ Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

$x^2+1$

$x^2+x+2$

$x^2+2x+2$

$x^2+1$ -ի համար որոնվող դաշտը ${𝔽}_9={\mathbb{Z}}_3[x]/(x^2+1)$ -ն է (եթե $x^2+1$-ի փոխարեն վերձնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում $i$ սիմվոլը նշանակում է $x$ բազմության համաժեքության դաս՝ ${\mathbb{Z}}_3[x]/(x^2+1)$ ֆակտոր իղակում, $i^2+1=0$ հավասարմանը բավարարող։

${𝔽}_9$ գումարման աղյուսակը սահմանվում է $1+1+1=0$ հարաբերությունից ելնելով։

+	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
1	1	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	1	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	1	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	1	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	1
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	1	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	1	$i+2$	$i$	$i+1$

${𝔽}_9$ -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է $i^2=-1$ հարաբերությունից։

×	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	0	2	1	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	0	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	1	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	0	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	1	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	0	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	1	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	0	$2i$	$i$	1	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	0	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	1
$2i+2$	0	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	1	$2i$

16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ

Երբ ${𝔽}_{16}=\mathrm{G}\mathrm{F}(2^4)$ դաշտը կազմվում է $x^4+x+1$ չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է $x^4+x+1$ բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով։ Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է $\alpha =x$ տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)

Բազմանդամ	$\alpha$ աստիճան	$1,x,x^2,x^3$
1	${\alpha }^0$	(1, 0, 0, 0)
$\alpha$	$\alpha$	(0, 1, 0, 0)
${\alpha }^2$	${\alpha }^2$	(0, 0, 1, 0)
${\alpha }^3$	${\alpha }^3$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alpha$	${\alpha }^4$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +{\alpha }^2$	${\alpha }^5$	(0, 1, 1, 0)
${\alpha }^2+{\alpha }^3$	${\alpha }^6$	(0, 0, 1, 1)
${\alpha }^3+\alpha +1={\alpha }^3+{\alpha }^4$	${\alpha }^7$	(1, 1, 0, 1)
$1+{\alpha }^2=\alpha +1+{\alpha }^2+\alpha$	${\alpha }^8$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +{\alpha }^3$	${\alpha }^9$	(0, 1, 0, 1)
${\alpha }^2+1+\alpha ={\alpha }^2+{\alpha }^4$	${\alpha }^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3$	${\alpha }^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3={\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4$	${\alpha }^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+{\alpha }^2+{\alpha }^3=\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4$	${\alpha }^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+{\alpha }^3=\alpha +{\alpha }^3+{\alpha }^4$	${\alpha }^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +{\alpha }^4$	${\alpha }^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Ուսումնասիրության պատմություն

Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից։ Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ։ Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներիցԿաղապար:Sfn։ Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետԿաղապար:Sfn։

Գալուայի ներդրումը

Էվարիստ Գալուա

1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց, որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը։ Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ) ներ է մուծում համեմատության երևակայական $F(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ արմատը, որտեղ $F(x)$-ն p մոդուլով չբերվող, $\nu$ աստիճանի կամայական բազմանդամ է։ Դրանից հետո դիտարկվում է $A=a_0+a_{1}i+a_2{i}^2+\dots +a_{\nu -1}{i}^{\nu -1}$ ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ $a_0,a_1,...,a_{\nu -1}$՝ p մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր։ Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա $A$ արտահայտությունը կընդունի $p^{\nu }$ արժեքը։ Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ։ Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը։ Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն ${𝔽}_p$ դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն ${𝔽}_{p^n}$ դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել Գալուայի դաշտ։

Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել։ Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին։

Հետագա զարգացում

1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ, այսինքն՝ $p^n$ անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է ${𝔽}_p$ -ից գործակիցներով բազմանդամների և $n$ աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին։ Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը։ Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում։ Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում։

Կիրառում

Դիոֆանտյան հավասարում

Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե $p$ պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ $a$ բաժանարար, ապա $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է $a$ տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ ${𝔽}_p$ դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է $p-1$ տարրերից։

Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս։ Մասնավորապես, նա նշում է, որ

$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,29=2^2+5^2,37=1^2+6^2,41=4^2+5^2.$

1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել $a^2+b^2=p$ հավասարումը։

Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը ${𝔽}_p$ վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը $a^2+b^2=0$։ Եթե $b=0$, ապա հավասարումը տրիվյալ է։ Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել $b^2$ -ի և փոփոխելով ստանալ $x^2+1=0$ տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով $x^2-1=0$ -ով ստացվում է $x^4-1=0$ հավասարումը։ $x$-ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, p-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում։

Ուղղիչ կոդերի տեսություն

Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից։ Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ։

Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները։ Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն ${𝔽}_2$ դաշտի վրա։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում։

Ծածկագրություն

Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրությունԿաղապար:Sfn։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր։ Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, Advanced Encryption Standard, Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր։

Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա։

Այլ

Տիեզերական զոնդ «Վոյաջեր»

1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը) կապի համակարգում։

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Статья
• Կաղապար:Source
• Կաղապար:Книга