Կոորդինատային համակարգ

Կաղապար:Աուդիո հոդված Կոորդինատային համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների համալիր, այսինքն՝ թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ։ Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ։

Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են։

Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են։ Հարթության վրա կետի դիրքն ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ։ Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս։ Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում։

Աշխարհագրությունում կոորդինատներն ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատային համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս)։

Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներն անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ է (օրինակ՝ ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա։ Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատային համակարգեր։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատային համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով։ Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված՝ երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն)։

Առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգն ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն է։

Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով։ Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիրը՝ կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատային համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար։ Կոորդինատային համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը։

Հիմնական համակարգեր

Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգերին։

Դեկարտյան կոորդինատներ

Կաղապար:Հիմնական հոդված Կաղապար:Math կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ $(x, y)$ թվազույգի միջոցով.

$x$ — Կաղապար:Math կետից հեռավորությունը մինչև Կաղապար:Math առանցք, հաշվի առնելով նշանը
$y$ — Կաղապար:Math կետից հեռավորությունը մինչև Կաղապար:Math առանցք, հաշվի առնելով նշանը։

Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝ $(x, y, z) :$

$x$ — Կաղապար:Math կետից հեռավորությունը մինչև Կաղապար:Math հարթություն
$y$ — Կաղապար:Math կետից հեռավորությունը մինչև Կաղապար:Math հարթություն
$z$ — Կաղապար:Math կետից հեռավորությունը մինչև Կաղապար:Math հարթություն։

Բևեռային կոորդինատներ

Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատային համակարգում Կաղապար:Math կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա Կաղապար:Math հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի Կաղապար:Math առանցքի նկատմամբ Կաղապար:Math անկյունով։

Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատային համակարգերը։

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում Կաղապար:Math կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով $(r, φ, z) :$ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններում,

$0 ⩽ r$ (շառավիղ)՝ Կաղապար:Math առանցքից մինչև Կաղապար:Math կետ հեռավորությունը,
$0 ⩽ φ < 36 0^{\circ}$ (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ Կաղապար:Math առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև Կաղապար:Math կետը տարած հատվածի Կաղապար:Math հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը։
$z$ (բարձրություն) հավասար է Կաղապար:Math կետի դեկարտյան Կաղապար:Math կոորդինատին։

Ծանոթագրություն։ գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է Կաղապար:Math նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝ Կաղապար:Math նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝ Կաղապար:Math նշանակումը։

Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ Կաղապար:Math նշանակումը որոշված չէ Կաղապար:Math դեպքում։

Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար։ Օրինակ, Կաղապար:Math շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող Կաղապար:Math առանցքով) ունի $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ Կաղապար:Math։

Գնդային կոորդինատներ

Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ։ Գլանային կոորդինատային համակարգում Կաղապար:Math կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ $(ρ, φ, θ) :$ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններով՝

$0 ⩽ ρ$ (շառավիղ)՝ Կաղապար:Math կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
$0 ⩽ φ ⩽ 36 0^{\circ}$ (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ Կաղապար:Math դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը Կաղապար:Math հարթության վրա բևեռից մինչև Կաղապար:Math կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
$0 ⩽ θ ⩽ 18 0^{\circ}$ (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ Կաղապար:Math դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև Կաղապար:Math կետը տարված հատվածի միջև անկյուն։

Ծանոթագրություն։ Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է Կաղապար:Math, իսկ բևեռային անկյունը՝ Կաղապար:Math։ Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են Կաղապար:Math Կաղապար:Math-ի փոխարեն։ Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն։ Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ Կաղապար:Math առանցքի դրական ուղղությունից, այլ Կաղապար:Math հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում։ Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել։

Գնդային կոորդինատային համակարգը ևս ունի թերություն. Կաղապար:Math և Կաղապար:Math որոշված չեն, եթե Կաղապար:Math = 0, Կաղապար:Math անկյունը ևս որոշված չէ նաև Կաղապար:Math = 0 ու Կաղապար:Math = 180° (կամ Կաղապար:Math = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար։

Կաղապար:Math կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից Կաղապար:Math դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել Կաղապար:Math հավասար հատված, շրջել նրան Կաղապար:Math անկյան տակ Կաղապար:Math առանցքի շուրջ Կաղապար:Math դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել Կաղապար:Math անկյան տակ Կաղապար:Math առանցքի շուրջ Կաղապար:Math դրական կիսառանքի ուղղությամբ։

Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում։ Այսպիսով, Կաղապար:Math շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝ $ρ = R :$

Ուրիշ տարածված կոորդինատային համակարգեր

Աֆինական (թեքանկյուն) կոորդինատային համակարգ՝ աֆինական տարածությունում ուղղագիծ կոորդինատային համակարգ։ Հարթության վրա տրվում է Կաղապար:Math կոորդինատների սկիզբնակետով և երկու ոչ կոլենյար կարգավորված վեկտորներով, որոնք իրենցից ներկայացնում են աֆինական բազիս։ Կոորդինատների առանցքներ տվյալ դեպքում կոչվում են կոորդինատների սկզբնակետով անցնող, բազիսային վեկտորներին զուգահեռ ուղիղները, որոնք իրենց հերթին տալիս են առանցքների դրական ուղղությունները։ Եռաչափ տարածությունում, հետևաբար աֆինական կոորդինատային համակարգը տրվում է գծայնորեն անկախ վեկտորների եռյակով և կոորդինատների սկզբնակետով։ Ինչ-որ Կաղապար:Math կետի կոորդինատների որոշման համար հաշվում են բազիսի վեկտորներով ОМ վեկտորի վերլուծման գործակիցները^[1]։
Բարիցենտրիկ կոորդինատներ առաջին անգամ ներմուծվել են 1827 թվականին Ա.Մյոբուսի կողմից՝ եռանկյան գագաթներում տեղակայված զանգվածների ծանրության կենտրոնի հարցը լուծելիս։ Նրանք աֆինորեն ինվարիանտ են, իրենցից ներկայացնում են ընդհանուր համասեռ կոորդինատների մասնավոր դեպք։ Բարիցենտրալ կոորդինատներով կետը տեղակայված է Կաղապար:Math չափանի Կաղապար:Math վեկտորական տարածությունում, իսկ այդ դեպքում հենց կոորդինատները պատկանում են կետերի ֆիքսված համակարգին, որոնք չեն պատկանում (Կաղապար:Math−1) չափանի ենթատարածությանը։ Բարիցենտրալ կոորդինատները օգտագործվում են նաև հանրահաշվական տոպոլոգիայում սիմպլեքս կետերի նկատմամբ^[2]։
Բիանգուլյար կոորդինատներ՝ երկկենտրոն կոորդինատների մասնավոր դեպք, կոորդինատային համակարգ հարթության վրա, երկու Կաղապար:Math և Կաղապար:Math ֆիքսված կետերով տրված, որոնցով անցնում է ուղիղ, որը հանդես է գալիս որպես աբցիսների առանցք։ Ինչ-որ Կաղապար:Math կետի դիրք, որը ընկած չի այդ ուղղի վրա, որոշվում է Կաղապար:Math և Կաղապար:Math անկյուններով։
Երկբևեռ կոորդինատներ՝ բնութագրվում է նրանով, որ որպես հարթության վրա կոորդինատների գիծ այդ դեպքում հանդես են գալիս երկու դրական Կաղապար:Math և Կաղապար:Math շրջակայքերի ընտանիք,ինչպես նաև իրենց օրթոգոնալ շրջակայքերի ընտանիքներ։ Երկբևեռ կոորդինատների փոխակերպումը դեկարտյանի տեղի է ունենում հատուկ բանաձևերի միջոցով։ Տարածության մեջ երկբևեռ կոորդինատները կոչվում են երկգնդային. այդ դեպքում մակերևույթային կոորդինատները հանդիսանում են գնդեր՝ շրջանագծի աղեղի պտույտով առաջացած մակերևույթներ, ինչպես նաև Կաղապար:Math առանցքով անցնող կիսահարթություններ^[3]։
Երկկենտրոն կոորդինատներ՝ կոորդինատների ցանկացած համակարգ, որը հիմնված է երկու ֆիքսված կետերի վրա և որոնցից ելնելով ինչ-որ այլ կետի դիրք որպես կանոն որոշվում է նրա ջնջման աստճանով կամ ընդհանրապես այդ երկու հիմնական կետերի դիրքերով։ Նման տիպի համակարգերը կարող են օգտակար լինել գիտական հետազոտությունների կոնկրետ բնագավառներում^[4]^[5]։
Երկգլանային կոորդինատներ՝ կոորդինատների համակարգ, որը ձևավորվում է այն դեպքում, եթե երկբևեռ կոորդինատային համակարգը Կաղապար:Math հարթության վրա զուգահեռ տեղափոխվում է Կաղապար:Math առանցքի երկայնքով։Այդ դեպքում որպես կոորդինատային մակերևույթներ հանդես են գալիս շրջանային գլանների զույգ ընտանիքներ, որոնց առանցքները զուգահեռ են, իրենց որթոգոնալ շրջանային գլանների ընտանիք, ինչպես նաև հարթություն։ Երկգլանային կոորդինատները դեկարտյանի վերափոխելու համար եռաչափ տարածության համար նույնպես կիրառվում են հատուկ բանաձևեր^[6]։
Կոնային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, բաղկացած համակենտրոն գնդերից, որոնք նկարագրվում են իրենց շառավղերով և Կաղապար:Math և Կաղապար:Math առանցքների երկայնքով տեղակայված երկու ուղղահայաց կոների ընտանիքներով^[7]։
Ռինդլերի կոորդինատներ՝ կիրառվում է առավելապես հարաբերականության տեսության շրջանակներում և նկարագրում են հարթ տարածաժամանակի այն մասը, որը սովորաբար կոչվում է Մինկովսկու տարածություն։ Հարաբերականության հատուկ տեսությունում հավասարաչափ արագացող մասնիկը գտնվում է հիպերբոլական շարժման մեջ, և յուրաքանչյուր այդպիսի մասնիկի համար Ռիդլենի կոորդինատներով կարող է ընտրված լինել այնպիսի հաշվարկի սկզբնակետ, որի նկատմամբ նա կհանդարտվի։
Պարաբոլական կոորդինատներ՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս պարաբոլների ամբողջությունը։ Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների համաչափության առանցքի շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով։ Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել Շտարկի էֆեկտի կիրառման մեջ։ Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ^[8]։
Պրոյեկտիվ կոորդինատներ՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն Կաղապար:Math (Կաղապար:Math) պրոյեկտիվ տարածության մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված Կաղապար:Math մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև։ Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները։ Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով^[9]։
Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից։ Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են տորոիդալ կոորդինատային համակարգի Կաղապար:Math հարթության Կաղապար:Math շառավղով օղակի, այն ժամանակ, երբ Կաղապար:Math առանցքը դառնում է համակարգի պտտման առանցքը։ Կիզակետային օղակը նույնպես երբեմն անվանում են բազային շրջակայք^[10]։
Եռագիծ կոորդինատներ՝ հանդիսանում են միասեռ կոորդինատների օրինակիներից մեկը և ունեն իրենց հիմնական տրված եռանկյունը, այնպես որ որոշակի կետի դիրք որոշվում է այդ եռանկյան կողմերի նկատմամբ՝ նրանց հեռավորության աստճանի գլխավոր ձևով, չնայած հնարավոր են նաև ուրիշ դեպքեր։ Եռագիծ կոորդինատները կարող են լինել համեմատաբար պարզ վերափոխված բարիցենտրիկի՝ բացի այդ, նրանք փոխակերպելի են երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատների ևս, որի համար կիրառվում են համապատասխան բանաձևեր^[11]։
Գլանային պարաբոլային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, որը ստացվում է կոորդինատների երկչափ պարաբոլային համակարգում տարածության վերափոխման հետևանքով։ Մակերևույթի կոորդինատներ ծառայում են համապատասխանաբար համաֆոկուս պարաբոլային գլանները։ Գլանային պարաբոլային կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են դեկարտյանների հետ, կարող են կիրառվել մի շարք գիտական հետազոտությունների բնագավառներում^[12]։
Էլիպսոիդային կոորդինատներ՝ էլիպտական կոորդինատներ տարածության մեջ։ Տվյալ տեպքում մակերևույթի կոորդինատներ հանդիսանում են էլիպսոիդները, միախոռոչ հիպերբոլոիդները, ինչպես նաև երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, որոնց կենտրոնները տեղակայված են կոորդինատների սկզբնակետում։ Համակարգը օրթոգոնալ է։ Էլիպսոիդալ հանդիսացող կետերի յուրաքանչյուր եռյակի համապատասխանում է ութ կետ, որոնք O_xyz համակարգի հարթության նկատմամբ սիմետրիկ են միմյանց^[13]։

Կոորդինատային մի համակարգից մյուսին անցում

Կաղապար:Also

Դեկարտյան և բևեռային

x = r \cos φ,

y = r \sin φ,

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

φ = arctg \frac{y}{x} + π u_{0} (- x) sgn y,

որտեղ Կաղապար:Math-ն՝ $u_{0} (0) = 0$ -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ Կաղապար:Math՝ signum ֆունկցիա։ Այստեղ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else)։ Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 (Կաղապար:Math, Կաղապար:Math) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ Կաղապար:Math-ն անհրաշեժտ կվադրանտով, Կաղապար:Math и Կաղապար:Math կոորդինատներով որոշված։

Դեկարտյան և գլանային

x = r \cos φ,

y = r \sin φ,

z = z .

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

φ = arctg \frac{y}{x} + π u_{0} (- x) sgn y,

z = z .

(\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) = (\begin{matrix} r \cos θ & - r \sin φ & 0 \\ r \sin θ & r \cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d r \\ d φ \\ d z \end{matrix}),

(\begin{matrix} d r \\ d φ \\ d z \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & 0 \\ \frac{- y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) .

Դեկարտյան և գնդային

x = ρ \sin θ \cos φ,

y = ρ \sin θ \sin φ,

z = ρ \cos θ;

ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},

θ = \arccos \frac{z}{ρ} = arctg \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z},

φ = arctg \frac{y}{x} + π u_{0} (- x) sgn y .

(\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin θ \cos φ & ρ \cos θ \cos φ & - ρ \sin θ \sin φ \\ \sin θ \sin φ & ρ \cos θ \sin φ & ρ \sin θ \cos φ \\ \cos θ & - ρ \sin θ & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d ρ \\ d θ \\ d φ \end{matrix}),

(\begin{matrix} d ρ \\ d θ \\ d φ \end{matrix}) = (\begin{matrix} x / ρ & y / ρ & z / ρ \\ \frac{x z}{ρ^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} & \frac{y z}{ρ^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} & \frac{- (x^{2} + y^{2})}{ρ^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ \frac{- y}{x^{2} + y^{2}} & \frac{x}{x^{2} + y^{2}} & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) .

Գլանային և գնդային

r = ρ \sin θ,

φ = φ,

z = ρ \cos θ;

ρ = \sqrt{r^{2} + z^{2}},

θ = arctg \frac{z}{r} + π u_{0} (- r) sgn z,

φ = φ .

(\begin{matrix} d r \\ d φ \\ d h \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sin θ & ρ \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \cos θ & - ρ \sin θ & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d ρ \\ d θ \\ d φ \end{matrix}),

(\begin{matrix} d ρ \\ d θ \\ d φ \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{r}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}} & 0 & \frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}} \\ \frac{- z}{r^{2} + z^{2}} & 0 & \frac{r}{r^{2} + z^{2}} \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} d r \\ d φ \\ d z \end{matrix}) .

Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգ

Կաղապար:Main Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը ապահովում է երկրագնդի մակերևույթի ցանկացած կետի նունականցումը թվատառային նշանակմամբ։ Որպես կանոն, կոորդինատները նշանակվում են այնպես, որ ցուցանիշներից մեկը նշանակում է դիրքը ուղղաձիգով, իսկ մյուսը կամ մյուսների ամբողջությունը՝ հորիզոնականով։Երկրաչափական կոորդինատների ավանդական խումբը՝ լայնություն,երկարություն և բարձրություն^[14]։ Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը նշված երեք ցուցանիշներով հանդիսանում է օրթոգոնալ։

Երկրի մակերևույթի կետի լայնությունը որոշվում է որպես հասարակածի և մոտավորապես Երկրի ձևի հետ համընկնող բազային էլիպսոիդի մակերևույթին այդ կետից տարված նորմալի տեսքով ուղղի միջև անկյուն։ Այդ ուղիղը սովորաբոր անցնում է Երիկրի կենտրոնից մի քանի կիլոմետրի վրա, բացառապես երկու դեպքում՝ բևեռների և հասարակածի(այդ դեպքերում այն անցնում է անմիջականորեն կենտրոնով)։ Միևնույն լայնության կետերը միացնող գծերը անվանվում են զուգահեռականներ։ 0° լայնություններին համապատասխանում են հասարակածի հարթությունները, Երկրի Հյուսիսային բևեռը համապատասխանում է 90° հյուսիսային լայնությանը, Հարավայինը՝ համապատասխանաբար 90° հարավային լայնությանը։ Իրեն հերթին, Երկրի մակերևույթի վրա կետի երկարությունը որոշվում է որպես անկյուն՝ հիմնական միջօրեականից այդ կետով անցնող դեպի ուրիշ միջօրեական,արևելյան կամ արևմտյան ուղղություններով։ Միևնույն երկարության կետեր միացնող միջօրեականները, իրենցից ներկայացնում են բևեռների վրա հատվող կիսաէլիպսներ։ Զրոյական համարվում է միջօրեականը,որն անցնում է Լոնդոնին կից Գրինվիչի թագավորական աստղադիտարանով։ Ինչ վերաբերվում է բարձրությանը, ապա այն հաշվվում է գեոիդի պայմանական մակերևույթից, որը հանդիսանում է երկրագնդի աբստրակտ տարածությայնության ներկայացումը։

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

Գրականություն

Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат.Կաղապար:Չաշխատող արտաքին հղում Издание пятое, стереотипное. Серия։ Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.։ Наука, 1973.
Կաղապար:ВТ-ЭСБЕ

Արտաքին հղումներ

Факультативное занятие по математике на тему։ «Разные системы координат»

Կաղապար:Արտաքին հղումներ

Կաղապար:ՀՍՀ

[1] Կաղապար:Книга

[2] Կաղապար:Книга

[3] Կաղապար:Книга

[4] R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.

[5] The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.

[6] Կաղապար:Книга

[7] MathWorld description of conical coordinates

[8] MathWorld description of parabolic coordinates

[9] Կաղապար:Книга

[10] MathWorld description of toroidal coordinates

[11] Կաղապար:MathWorld

[12] MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates

[13] Կաղապար:Книга

[OSGB-14] A Guide to coordinate systems in Great Britain Կաղապար:Webarchive v 1.7 October 2007

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Կոորդինատային համակարգ

Բովանդակություն