Կիսապարագիծ

Կիսապարագիծ, բազմանկյան կիսապարագիծ, նրա պարագծի կեսին հավասար մեծություն։ Չնայած, որ կիսապարագիծը հանդիսանում է պարագծի շատ պարզ ածանցիալը, հաճախ է հանդիպում եռանկյան և այլ երկրաչափական պատկերների բանաձևերում։ Նրան տվել են առանձին անվանում և բանաձևերում նշանակում են P տառով։

Եռանկյուններ

Նկ․1․Եռանկյան կողմերի շարունակություններին ներգծած շրջանագծեր

Կիսապարագիծը հաճախ օգտագործվում եռանկյունների համար։ a, b և c կողմերով եռանկյան կիսապարագծի բանաձևն է․

$p=\frac{a+b+c}{2}.$

Հատկություններ

Նկ․1․-ում ցույց են տրված եռանկյան A, B, C կողմերը և A', B', C', շրջանագծերի շոշափման կետերը։ Այդ դեպքում․

$p=|AB|+|A^{\prime }B|=|AB|+|A{B}^{\prime }|=|AC|+|A^{\prime }C|$

$=|AC|+|A{C}^{\prime }|=|BC|+|B^{\prime }C|=|BC|+|B{C}^{\prime }|.$

Երեք հատվածները, որոնք միացնում են գագաթները հանդիպակած կողմի շոշափման կետերի հետ, հատվում են մի կետում, որը կոչվում է Հեգելի կետ։

Դիտարկենք այն հատվածները, որոնք կողմի միջնակետերը միացնում են այն կետերի հետ, որ հեռացված են կողմի երկայնքով կիսապարագծի չափով։ Կտեսնենք, որ դրանք հատվում են մի կետում։ Այդ կետը կոչվում է Շպիկերի շրջանագծի կենտրոն։ Շպիկերի կենտրոնը եռանկյան ծանրության կենտրոնն է։

Եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղիղը բաժանում է պարագիծը երկու հավասար մասերի՝ այն և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանում է մակերեսը երկու հավասար մասերի։

Եռանկյան կիսապարագիծը հավասար է միջնագծերով կազմված եռանկյան պարագծին։

Առանկյան ամենամեծ կողմը մեծ չէ կիսապարագծից։

Կիսապարագծով բանաձևեր

Ցանկացած եռանկյան մակերեսը հավասար է իր ներգծած շրջանագծի r շառավղի և p կիսապարագծի արտադրյալին։

$S=rp.$

Հերոնի բանաձևը եռանկյան s մակերեսը հաշվելու համար (a, b, c եռանկյան կողմեր, p կիսապարագիծ)։

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Արտագծած շրջանագծի R շառավիղը կարելի է հաշվել կիսապարագծի և կողմերի երկարության միջոցով։

$R=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Այս բանաձևը կարելի է դուրս բերել սինուսների թեորեմից։

Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է․

$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}.$

Կոտանգենսների թեորեմը տալիս է եռանկյան գագաթի անկյան մեծության կեսի տանգենսը կիսապարագծով։

a կողմի դիմացի անկյան կիսորդի երկարությունը հավասար էԿաղապար:Sfn․

$t_a=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c}.$

Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներգնաձիգի կեսին։

Կիսապարագիծը հավասար է ներգծած շրջանագծի շառավղի և արտագծած շառավղի կրկնապատիկի գումարին։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է․

$s=(p-a)(p-b)$, որտեղ a և b  էջերն են։

Քառանկյուններ

a, b, c և d կողմերով քառանկյան կիսապարագծի հաշվման բանաձևըն է․

$p=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Քառանկյան մակերեսը հավասար է նրան ներգծած շրջանագծի շառավղի և կիսապարագծի արտադրյալին․

$S=rp.$

Բրահմագուպտայի բանաձևը քառանկյան մակերեսի համար․

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Բրետշնայդերի բանաձևն իր մեջ ընդհանրացնում է բոլոր տիպի ուռուցիկ քառանկյունների մակերեսների բանաձևերը։

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)},$

որեղ $\alpha$-ն և $\gamma$-ն հանդիպակած անկյուններ են։

Կանոնավոր բազմանկյուն

Ուռուցիկ կանոնավոր քառանկյան մակերեսը հավասար է իր կիսապարագծի և կենտրոնից, կաղմերից մեկի հեռավորության արտադրյալին։

Գրականություն

• Կաղապար:Книга (Переиздание книги 1929 года)

Արտաքին հղումներ

• Մաթեմատիկա
• Երկրաչափություն
• Եռանկյուն
• Պարագիծ
• Հերոնի բանաձև