Մաթեմատիկական նշաններ

Մաթեմատիկական նշաններ, հատուկ պայմանանշաններ, որոնք նախատեսված են մաթեմատիկական օբյեկտներ, հասկացություններ և առաջադրություններ գրառելու համար։ Օրինակ, $\sqrt{2}$ (քառակուսի արմատ երկուսից), $3>2$ (երեքը մեծ է երկուսից) և այլն։ Առաջին մաթեմատիկական նշաններն եղել են թվերի գրառման նշանները՝ թվանշանները, որոնք, հավանաբար, ավելի վաղ ծագում ունեն, քան գրերը։ Թվարկության առավել հին՝ բաբելոնական և եգիպտական համակարգերը ծագել են $31/2$ հազարամյակ մ.թ.ա.։ Կամայական մեծությունների մաթեմատիկական նշաններ ստեղծվել են Հունաստանում բավական ուշ (սկսած 5-4-րդ դարեր մ.թ.ա.)։ Հանրահաշվական նշանագրությունը երևան է եկել 14-17-րդ դարեր։ Հանրահաշվական բանաձևերի ստեղծման գործում մեծ ավանդ ունեն Ֆրանսուա Վիետը և Ռենե Դեկարտը։ Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի նշանագրությունը ստեղծել է Գ. Լայբնիցը։ Ժամանակակից մաթեմատիկայի նշանագրության ստեղծման գործում մեծ դեր է խաղացել Լեոնարդ Էյլերը։

Որոշ մաթեմատիկական նշաների ստեղծման տարեթվերը և հեղինակները

Նշանը	Իմաստը	Ստեղծողը	Ստեղծաման տարեթիվը
$\mathrm{\infty }$	անվերջություն	Ջ. Վալիս	1655
$e$	բնական լոգարիթմների հիմքը	Լ. Էյլեր	1736
$\pi$	շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին	Ու. Ջոնս	1706
$i$	քառակուսի արմատ $-1$-ից	Լ. Էյլեր	1777 (տպագրվել է 1794)
$\overline{i},\overline{j},\overline{k}$	միավոր վեկտորներ	Ու. Համիլտոն	1853
$a,b,c$	հաստատուն կամ տրված մեծություններ	Ռ. Դեկարտ	1637
$x,y,z$	փոփոխական կամ անհայտ մեծություններ	Ռ. Դեկարտ	1637
$=$	հավասարություն	Ռ. Ռեկորդ	1557
$>$	մեծ է	Տ. Հարիոտ	1631
$<$	փոքր է	Տ. Հարիոտ	1631
$\equiv$	համեմատելիություն	Կ. Գաուս	1801
$\parallel$	զուգահեռություն	Ու. Օութրեդ	1677
$\perp$	ուղղահայացություն	Պ. Էրիգոն	1634
$+$	գումարում	գերմանացի մաթեմատիկոսներ	15-րդ դարի վերջ
$-$	հանում	գերմանացի մաթեմատիկոսներ	15-րդ դարի վերջ
$\times$	բազմապատկում	Ու. Օութրեդ	1631
$.$	բազմապատկում	Գ. Լայբնից	1698
$:$	բաժանում	Գ. Լայբնից	1684
$a,a^2...a^n$	աստիճաններ	Ռ. Դեկարտ,Ի. Նյուտոն	1637,1676
$\sqrt{2},\sqrt{3}$	արմատներ	Ք. Ռուդոլֆ, Ա. Ժիրար	1525,1629
$\log$	լոգարիթմ	Յն. Կեպլեր, Բ. Կավալիեր	1624,1632
$\sin$	սինուս	Լ. Էյլեր	1748
$\cos$	կոսինուս	Լ. Էյլեր	1748
$\mathrm{t}\mathrm{g}$	տանգենս	Լ. Էյլեր	1753
$\arcsin$	արկսինուս	Ժ. Լագրանժ	1772
$\mathrm{s}\mathrm{h}$	հիպերբոլական սինուս	Վ. Ռիկատի	1757
$\mathrm{c}\mathrm{h}$	հիպերբոլական կոսինուս	Վ. Ռիկատի	1757
$dx,d^{2}x,$	դիֆերենցյալ	Գ. Լայբնից	1675 (տպագրվել է 1684-ին)
$\int ydx$	ինտեգրալ	Գ. Լայբնից	1675 (տպագրվել է 1686-ին)
$d/dx$	ածանցյալ	Գ. Լայբնից	1675
$f_x^{\text{'}},y^{\text{'}},f^{\text{'}}(x)$	ածանցյալ	Ժ. Լագրանժ	1770,1779
$\varrho /\varrho x$	մասնական ածանցյալ	Ա. Լեժանդր	1786
$△x$	տարբերություն	Լ. Էյլեր	1775
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$	որոշյալ ինտեգրալ	Ժ. Ֆուրին	1819-1922
$\sum$	գումար	Լ. Էյլեր	1775
$\prod$	արտադրյալ	Կ. Գաուս	1812
$!$	ֆակտորյալ	Կ. Կրամպ	1808
$|x|$	մոդուլ	Կ. Վայերշտրաս	1861
$\lim ,\lim n=\mathrm{\infty },\lim n\to \mathrm{\infty }$	սահման	Ս. Լյուիլյե, Ու. Համիլտոն, ուրիշ մաթեմատիկոսներ	1786,1853,20-րդ դարի սկիզբ
$\varphi x,f(x)$	ֆունկցիա	Ի. Բեռնուլի,Լ. Էյլեր	1718,1734

Նշաններ (TeX)	Նշաններ (Յունիկոդ)	Անվանում	Նշանակություն	Օրինակ
		Արտասանություն
		Մաթեմատիկայի բաժին
$\Rightarrow$ (\Rightarrow) $\to$ (\rightarrow) $\supset$ (\supset)	⇒ → ⊃	Իմպլիկացիա, շարժում	$A\Rightarrow B$ նշանակում է «եթե $A$-ն ճիշտ է, ապա $B$-ն նույնպես ճիշտ է». (→ սա կարող է օգտագործվել ⇒ փոխարեն, կամ դրա նշանակությամբ ֆունկցիա, տեսԿաղապար:Nbspներ.) (⊃ կարող է օգտագործվել ⇒ , կամ դրա նշանակությամբ ենթաբազմություն, տեսԿաղապար:Nbspներ.) ։	$x=2\Rightarrow x^2=4$-ն ճիշտ է, բայց $x^2=4\Rightarrow x=2$-ը սխալ է ( քանի որ$x=-2$-ը նույնպես լուծում է )։
		«ազդում է» կամ «եթե․․․, ապա »
		ամենուրեք
$\iff$ (\Leftrightarrow)	⇔	Համարժեք	$A\iff B$ նշանակում է «$A$-ն ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ $B$-ն ճիշտ է»։	$x+5=y+2\iff x+3=y$
		«եթե և միայն եթե » կամ «համարժեք է»
		ամենուրեք
$\wedge$ (\wedge)	∧	Տրամաբանական բազմապատկում	$A\wedge B$-ն ճշմարիտ է միայն և միայն այն դեպքում, երբ $A$-ն և $B$-ն ճշմարիտ են։	$(n>2)\wedge (n<4)\iff (n=3)$, եթե $n$ — բնական թիվ է։
		«և»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\vee$ (\vee)	∨	Տրամաբանական գումարում	$A\vee B$-ն ճշմարիտ է, եթե պայմաններից մեկը՝ $A$-ն կամ $B$-ն ճշմարիտ է։	$(n⩽2)\vee (n⩾4)\iff n\ne 3$, եթե $n$ — բնական թիվ է։
		«կամ»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\mathrm{\neg }$ (\neg)	¬	Ժխտում	$\mathrm{\neg }A$-ն ճշմարիտ է միայն և միայն այն դեպքում, երբ կեղծ է $A$-ն։	$\mathrm{\neg }(A\wedge B)\iff (\mathrm{\neg }A)\vee (\mathrm{\neg }B)$ $x\notin S\iff \mathrm{\neg }(x\in S)$
		«ոչ»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\mathrm{\forall }$ (\forall)	∀	Քվանտային ամբողջություն	$\mathrm{\forall }x,P\left(x\right)$ նշանակում է «$P\left(x\right)$-ն ճիշտ է բոլոր $x$-ի համար »։	$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n^2⩾n$
		«Ցանկացածի համար», «Բոլորի համար», «Յուրաքանչյուրի համար»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$\mathrm{\exists }$ (\exists)	∃	Քվանտային գոյացություն	$\mathrm{\exists }x,P\left(x\right)$ նշանակում է «գոյություն ունի գոնե մեկ $x$, որի դեպքում ճիշտ է$P\left(x\right)$-ն»։	$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n+5=2n$ (համընկնում է 5 թիվը)
		«գոյություն»
		Մաթեմատիկական տրամաբանություն
$=$	=	Հավասարություն	$x=y$ նշանակում է «$x$-ը և $y$-ը ունեն նույն նշանակությունը»։	1 + 2 = 6 − 3
		«հավասար»
		ամենուրեք
$:=$ $:\iff$ (:\Leftrightarrow) $\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}$ (\stackrel{\rm{def}}{=})	:= :⇔	Սահմանում	$x:=y$ նշանակում է «$x$ ըստ սահմանման հավասար է $y$-ին». $P:\iff Q$ նշանակում է «$P$ ըստ սահմանման հավասարազոր է $Q$-ին»	$\mathrm{c}\mathrm{h}\left(x\right):=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ (սահմանում հիպերբոլիկկոսինուսը) $A\oplus B:\iff (A\vee B)\wedge \mathrm{\neg }(A\wedge B)$ (սահմանման բացառումը «ԿԱՄ»)
		«հավասար/հավասարազոր է ըստ սահմանման»
		ամենուրեք
$\{,\}$	{ }	Տարրերի բազմություն	$\{a,b,c\}$ նշանակում է բազմություն, որի տարրերն են $a$-ն, $b$-ն և $c$-ն։	$\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ (շատ բնական թվեր)
		«Շատ…»
		Բազմությունների տեսություն
$\{|\}$	{|}	Տարրերի բազմություն, բավարար պայմանի դեպքում	$\{x|P\left(x\right)\}$ նշանակում է բազմության բոլոր $x$-ն այնպիսին են, որ ճիշտ է$P\left(x\right)$-ը։	$\{n\in \mathbb{N}|n^2<20\}=\{1,2,3,4\}$
		«Բոլոր բազմությունը… այնպիսին է, որ ճիշտ է…»
		Բազմությունների տեսություն
$\varnothing$ (\varnothing) $\{\}$	∅ {}	Դատարկ բազմություն	$\{\}$ և $\varnothing$ նշանակում է, որ բազմությունը ոչ մի տարր չի պարունակում։	$\{n\in \mathbb{N}|1<n^2<4\}=\varnothing$
		«Դատարկ բազմություն»
		Բազմությունների տեսություն
$\in$ (\in) $\notin$ (\notin)	∈ ∉	Պատկանում է/չի պատկանում բազմությանը	$a\in S$ նշանակում է «$a$ տարրը պատկանում է $S$ բազմությանը» $a\notin S$նշանակում է «$a$ տարրը չի պատկանում $S$ բազմությանը»։	$2\in \mathbb{N}$ $\frac{1}{2}\notin \mathbb{N}$
		«պատկանում», «ից» «չի պատկանում»
		Բազմությունների տեսություն
$\subseteq$ (\subseteq) $\subset$ (\subset)	⊆ ⊂	Ենթաբազմություն	$A\subseteq B$ նշանակում է «$A$ բազմության յուրաքանչյուր տարր նույնպես $B$ բազմության տարր է»։ $A\subset B$ սովորաբար նշանակում է այն, ինչ $A\subseteq B$: Սակայն որոշ հեղինակներ օգտագործել են$\subset$տարբերակը, որպեսզի ցույց տան խիստ ներառումը (որնէ$⊊$):	$(A\cap B)\subseteq A$ $\mathbb{Q}\subseteq ℝ$
		«ենթաբազմությունը պարունակում է», «ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\supseteq$ (\supseteq) $\supset$ (\supset)	⊇ ⊃	Ենթաբազմություն	$A\supseteq B$ նշանակում է «$B$ բազմության յուրաքանչյուր տարր նույնպես $A$ բազմության տարր է»։ $A\supset B$ սովորաբար նշանակում է այն, ինչ $A\supseteq B$: Սակայն որոշ հեղինակներ օգտագործել են $\supset$, տարբերակը, որպեսզի ցույց տան խիստ ներառումը (որնէ$⊋$):	$(A\cup B)\supseteq A$ $ℝ\supseteq \mathbb{Q}$
		«Ենթաբազմությունը պարունակում է», «ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$⊊$ (\subsetneq)	⊊	Սեփական ենթաբազմություն	$A⊊B$ նշանակում է $A\subseteq B$ և $A\ne B$:	$\mathbb{N}⊊\mathbb{Q}$
		«սեփական ենթաբազմությունը պարունակում է», «խստորեն ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$⊋$ (\supsetneq)	⊋	Սեփական ենթաբազմություն	$A⊋B$ նշանակում է $A\supseteq B$ և $A\ne B$:	$\mathbb{Q}⊋\mathbb{N}$
		«սեփական ենթաբազմությունը ներառում է», «խստորեն ներառում է»
		Բազմությունների տեսություն
$\cup$ (\cup)	∪	Միավորում	$A\cup B$ նշանակում է, որ բազմաթիվ տարրեր պատկանում են $A$-ին կամ $B$-ին։	$A\subseteq B\iff A\cup B=B$
		«Միավորում … և …», «…, համախմբված է …»
		Բազմությունների տեսություն
$\cap$ (\cap)	⋂	Հատում	$A\cap B$ նշանակում է, որ բազմաթիվ միանման տարրեր պատկանում են և $A$-ին, և $B$-ին։	$\{x\in ℝ|x^2=1\}\cap \mathbb{N}=\{1\}$
		"հատում … և … ", «…, հատվում է …»
		Բազմությունների տեսություն
$\setminus$ (\setminus)	\	Տարբեր բազմություններ	$A\setminus B$ նշանակում է բազմաթիվ տարրեր պատկանում են $A$-ին, բայց չեն պատկլանում $B$-ին։	$\{1,2,3,4\}\setminus \{3,4,5,6\}=\{1,2\}$
		«տարբեր … և …», «հանում», «… առանց …»
		Բազմությունների տեսություն
$\mathbb{N}$ (\mathbbN)	N կամ ℕ	Բնական թիվ	$\mathbb{N}$ նշանակում է բազմաթիվ$\{1,2,3,\dots \}$կամ հազվադեպ$\{0,1,2,3,\dots \}$ (կախված իրավիճակից)։	$\{\left|a\right||a\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{N}$
		«Էն»
		Թվեր
$\mathbb{Z}$ (\mathbb Z)	Z կամ ℤ	Ամբողջ թվեր	$\mathbb{Z}$ նշանակում է$\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$	$\{a,-a|a\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}=\mathbb{Z}$
		«Զեթ»
		Թվեր
$\mathbb{Q}$ (\mathbb Q)	Q կամ ℚ	Ռացիոնալ թվեր	$\mathbb{Q}$ նշանակում է $\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z}\wedge q\in \mathbb{N}\wedge q\ne 0\}$	$3,14\in \mathbb{Q}$ $\pi \notin \mathbb{Q}$
		«Քու» կամ «Քյու»
		Թվեր
$ℝ$ (\mathbb R)	R կամ ℝ	Իրական թվեր	$ℝ$ նշանակում է ամբողջ բազմությունը սահմանաչափերը հաջորդականությունից $\mathbb{Q}$	$\pi \in ℝ$ $i\notin ℝ$ ($i$ — թվացյալ միավորը։ $i^2=-1$)
		«Էռ»
		Թվեր
$ℂ$ (\mathbb C)	C կամ ℂ	Կոմպլեքս թվեր	$ℂ$ նշանակում է $\{a+b\cdot i|a\in ℝ\wedge b\in ℝ\}$	$i\in ℂ$
		«Ցէ»
		Թվեր
$ℍ$ (\mathbb H)	H կամ $ℍ$	Քվատերնիոններ	$ℍ$ նշանակում է $\{a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k|a\in ℝ\wedge b\in ℝ\wedge c\in ℝ\wedge d\in ℝ\}$	$i\in ℍ$
		«Հաշ»
		Թվեր
$<$ $>$	< >	Համեմատություն	$x<y$ նշանակում է, որ $x$ խիստ մեծ է $y$-ից։ $x>y$ նշանակում է, որ $x$խիստ մեծ է $y$-ից։	$x<y\iff y>x$
		«ավելի քիչ քան», «ավելի շատ քան»
		Կարգի հարաբերություն
$⩽$  կամ  $\le$ (\leqslant կամ \leq) $⩾$  կամ  $\ge$ (\geqslant կամ \geq)	⩽կամ ≤ ⩾ կամ ≥	Համեմատություն	$x⩽y$ նշանակում է, որ $x$-ը փոքր կամ հավասար է $y$-ին։ $x⩾y$ նշանակում է, որ $x$-ը մեծ կամ հավասար է $y$-ին։	$x⩾1\Rightarrow x^2⩾x$
		«փոքր կամ հավասար է»; «մեծ կամ հավասար է»
		Կարգի հարաբերություն
$\approx$ (\approx)	≈	Մոտավոր հավասարություն	$e\approx 2,718$-ը ճշգրիտ է մինչև 10Կաղապար:Sup նշանակում է, որ 2,718-ը $e$-ը տարբերվում է ոչ ավելի քան 10Կաղապար:Sup-ը.	$\pi \approx 3,1415926$ ճշգրիտ է մինչև 10Կաղապար:Sup.
		«մոտավորապես հավասար»
		Թվեր
$\sqrt{}$ (\sqrt{})	√	Թվաբանական քառակուսի արմատ	$\sqrt{x}$ նշանակում է, այն իրական, ոչ բացասական թիվը, որը քառակուսի է տալիս $x$:	$\sqrt{4}=2$ $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$
		«Քառակուսի արմատից …»
		Թվեր
$\mathrm{\infty }$ (\infty)	∞	Անվերջություն	Այս նշանները ցույց են տալիս մեծ/փոքր բոլոր իրական թվերը։	$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{1}{\left|x\right|}=\mathrm{\infty }$
		«Պլյուս/մինուս անվերջություն»
		Թվեր
$\left|\right|$ (\left| \right|)	| |	Բացարձակ արժեք (Բացարձակարժեք, մոդուլ) թվեր	$\left|x\right|$նշանակում է$x$-ի բացարձակ արժեքը։	$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$
		«Մոդուլ»
		Թվեր և Բազմությունների տեսություն
$\sum$ (\sum)	∑	Գումար (թվերի հավաքածու), գումար շարքեր	$\sum _{k=1}^n{a}_k$նշանակում է «գումար $a_k$, որտեղ $k$-ի п արժեքները հասնում են 1-ից մինչև$n$», ինչպես $a_1+a_2+\dots +a_n$. $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ նշանակում է գումարի շարքը կազմված է $a_k$-ից։	$\sum _{k=1}^4{k}^2=$ $=1^2+2^2+3^2+4^2$ $=30$
		«Գումար … վրա … ից … մինչև …»
		Թվաբանություն, Մաթեմատիկական անալիզ
$\prod$ (\prod)	∏	Արդյունք	$\prod _{k=1}^n{a}_k$նշանակում է « $a_k$ արդյունքւմ բոլոր $k$-երի առժեքները հասնում են 1-ից մինչև $n$», ինչպես $a_1\cdot a_2\cdot \dots \cdot a_n$	$\prod _{k=1}^4(k+2)=$ $=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Արդյունք … վրա … ից … մինչև …»
		Թվաբանություն
$!$	!	Ֆակտորիալ	$n!$ նշանակում է բոլոր բնական թվերը 1-ից մինչև $n$-ը ներառյալ, ինչպես $1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$	$n!=\prod _{k=1}^{n}k=(n-1)!n$ $0!=1$ $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$
		«$n$ ֆակտորիալ»
		Կոմբինատորիկա

Գրականություն

• Տարրական մաթեմատիկայի ուղղեցույց. Մարկ Վիգոդսկի։ Հրատարակություն. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6:

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:ВТ-ЭСБЕ